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a$b : comprendre les identités remarquables

Le calcul matriciel est une partie essentielle des mathématiques, particulièrement utile en algèbre linéaire. L’exercice suivant, souvent posé en colle, consiste à démontrer que deux matrices AA et BB commutent, c’est-à-dire que AB=BAAB = BA. Ce type de problème peut paraître simple avec l’astuce appropriée, mais sans celle-ci, il peut s’avérer complexe. Dans cet article, nous détaillerons la solution de cet exercice, d’abord avec un indice, puis sans.

Les identités remarquables sont des égalités algébriques fondamentales qui permettent de simplifier les expressions et de résoudre les équations plus facilement. Elles sont des outils précieux en mathématiques, souvent utilisés pour factoriser ou développer des polynômes. Cet article présente les principales identités remarquables et leur utilisation pratique.

Comment montrer que A=B?

a$b
a$b
1. Transformer A → B 2. Transformer B → A 3. Transformer C & BC
On transforme l’expression de gauche pour aboutir à celle de droite On transforme l’expression de droite pour aboutir à celle de gauche On transforme chacun des membres (A et B) pour aboutir à une troisième forme (C) commune
Exemple: Montrer que (x-2)²-4 = x(x-4)
(x-2)²-4=
(x-2)²-2²=
(x-2-2)(x-2+2)
(x-4)(x)
x(x-4)
Donc (x-2)²-4 = x(x-4)
Exemple: Montrer que x²+5x+6=(x+2)(x+3)
(x+2)(x+3)=
x²+3x+2x+6=
x²+5x+6
Donc x²+5x+6=(x+2)(x+3)
Exemple: Montrer que (x-2)²-4 = x(x-4)

D’une part
(x-2)²-4=
x²-4x-4+4=
x²-4x

D’autre part:
x(x-4)=x²-4x

Donc
(x-2)²-4=x(x-4)

Les Principales Identités Remarquables

Le carré d’une somme

L’identité du carré d’une somme s’énonce comme suit : (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Cette identité permet de développer l’expression du carré d’une somme de deux termes. Par exemple : (x+3)2=x2+2⋅x⋅3+32=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9

Le carré d’une différence

L’identité du carré d’une différence est similaire à celle du carré d’une somme : (a−b)2=a2−2ab+b2(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2

Elle permet de développer l’expression du carré d’une différence de deux termes. Par exemple : (x−4)2=x2−2⋅x⋅4+42=x2−8x+16(x – 4)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 – 8x + 16

La différence de carrés

L’identité de la différence de carrés est utilisée pour factoriser une différence de deux carrés : a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)

Cette identité est particulièrement utile en factorisation. Par exemple : x2−9=x2−32=(x−3)(x+3)x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x – 3)(x + 3)

A lire : critères de divisibilité

Comment utiliser les Identités Remarquables

cos 2 sin 2 1
cos 2 sin 2 1

Méthode avec l’Indice

Pour commencer, nous avons deux matrices AA et BB appartenant à Mn×n(R)M_{n \times n}(\mathbb{R}) telles que AB=A+BAB = A + B. Nous devons montrer que AA et BB commutent, soit AB=BAAB = BA. L’indice fourni est de considérer la quantité (A−I)(B−I)(A – I)(B – I).

Développons cette quantité : (A−I)(B−I)=AB−A−B+I(A – I)(B – I) = AB – A – B + I

Selon l’hypothèse, nous savons que AB=A+BAB = A + B. Donc, nous avons : (A−I)(B−I)=(A+B)−A−B+I=I(A – I)(B – I) = (A + B) – A – B + I = I

Ainsi, nous obtenons (A−I)(B−I)=I(A – I)(B – I) = I. Ce résultat nous indique que A−IA – I et B−IB – I sont des inverses l’un de l’autre. Or, une matrice commute toujours avec son inverse. Donc : (A−I)(B−I)=(B−I)(A−I)=I(A – I)(B – I) = (B – I)(A – I) = I

En développant cette égalité, nous trouvons que AB=BAAB = BA, prouvant ainsi que les matrices AA et BB commutent.

Méthode sans l’Indice

Si nous n’avons pas l’indice, nous devons partir de l’égalité donnée : AB=A+BAB = A + B

Nous pouvons réorganiser cette équation : AB−A=BAB – A = B A(B−I)=BA(B – I) = B

À ce stade, il est crucial de noter qu’une matrice factorisée par elle-même donne l’identité, pas un simple 11. Nous devons donc ajouter et soustraire l’identité II pour pouvoir factoriser correctement. Ajoutons II des deux côtés : A(B−I)=B−I+IA(B – I) = B – I + I A(B−I)=(B−I)+IA(B – I) = (B – I) + I

Maintenant, nous pouvons factoriser B−IB – I à droite : A(B−I)−(B−I)=IA(B – I) – (B – I) = I

En factorisant par B−IB – I, nous obtenons : (A−I)(B−I)=I(A – I)(B – I) = I

Comme précédemment, cela signifie que A−IA – I et B−IB – I sont des inverses l’un de l’autre, et donc : (A−I)(B−I)=(B−I)(A−I)(A – I)(B – I) = (B – I)(A – I)

En développant cette égalité, nous retrouvons que AB=BAAB = BA, prouvant encore une fois que les matrices AA et BB commutent.

Exemples d’Applications

Exemples de simplification

  1. Simplifier (2x+5)2(2x + 5)^2 : (2x+5)2=4×2+20x+25(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25
  2. Simplifier 49−y249 – y^2 : 49−y2=(7−y)(7+y)49 – y^2 = (7 – y)(7 + y)

Exemples de résolution d’équations

  1. Résoudre x2−16=0x^2 – 16 = 0 : x2−16=(x−4)(x+4)=0x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) = 0 x−4=0 ou x+4=0x – 4 = 0 \, \text{ou} \, x + 4 = 0 x=4 ou x=−4x = 4 \, \text{ou} \, x = -4
  2. Résoudre (x+1)2=9(x + 1)^2 = 9 : x+1=±3x + 1 = \pm 3 x=2 ou x=−4x = 2 \, \text{ou} \, x = -4

Conclusion

En conclusion, cet exercice montre l’importance de bien comprendre les propriétés des matrices, notamment l’inversibilité et la commutativité. En utilisant l’indice, nous avons pu rapidement trouver la solution. Sans l’indice, le raisonnement devient plus complexe, mais reste accessible avec une bonne maîtrise des concepts fondamentaux.

Et vous, comment aborderiez-vous ce type de problème sans indice ? Partagez vos stratégies et astuces dans les commentaires.

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