Définition sin2 cos2 1 :

La formule cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1 est une identité trigonométrique fondamentale. Elle indique que pour tout angle $x$, la somme des carrés du cosinus et du sinus de cet angle est toujours égale à 1.

À quoi sert  sin 2 cos 2 1

• $\cos x$ et $\sin x$ sont respectivement les valeurs du cosinus et du sinus de l’angle $x$.
• cos⁡2x\cos^2 xcos2x signifie (cos⁡x)2(\cos x)^2(cosx)2, c’est-à-dire le carré de la valeur du cosinus de $x$.
• sin⁡2x\sin^2 xsin2x signifie (sin⁡x)2(\sin x)^2(sinx)2, c’est-à-dire le carré de la valeur du sinus de $x$.

La formule peut être dérivée du théorème de Pythagore en considérant un cercle unité (un cercle de rayon 1) où un point $P$ sur le cercle a des coordonnées $(\cos x,\sin x)$. La distance de ce point à l’origine est toujours 1, ce qui nous donne la relation cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1.

Utilité et Fonction de cos2 x sin2 x

Utilité

• Calculs en trigonométrie : Cette formule est utilisée pour simplifier et résoudre des équations trigonométriques.
• Géométrie et analyse : Elle est essentielle en géométrie pour calculer les distances et les angles dans les triangles et les cercles.
• Physique : Elle est utilisée pour analyser les ondes et les vibrations, par exemple, en mécanique des ondes et en acoustique.
• Ingénierie : Elle joue un rôle clé dans les analyses de signaux et dans les calculs de circuits électriques.

Fonction

La formule permet de :

• Trouver la valeur du sinus si le cosinus est connu, et vice versa.
• Simplifier les expressions trigonométriques complexes.
• Vérifier les identités trigonométriques et les relations entre les angles.

Utilisation dans la Vie de Tous les Jours

Exemples Pratiques

1. Navigation et GPS : Les systèmes de navigation utilisent les fonctions trigonométriques pour calculer les trajectoires et les positions.
2. Construction : Les architectes et les ingénieurs utilisent cette formule pour concevoir des structures et pour calculer les angles et les distances dans les bâtiments.
3. Sports : Les entraîneurs et les athlètes utilisent la trigonométrie pour analyser les trajectoires des balles et des mouvements des joueurs.
4. Musique : Les ingénieurs du son utilisent la trigonométrie pour analyser les ondes sonores et pour calibrer les équipements audio.

Comment utiliser la formule cos 2 sin 2 1

1. Comprendre la Formule: La formule cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1 est une identité trigonométrique fondamentale. Elle indique que pour n’importe quel angle $x$, la somme des carrés du cosinus et du sinus de cet angle est toujours égale à 1.
2. Isoler le Terme Désiré: Selon ce que vous cherchez, vous devrez isoler soit cos⁡2x\cos^2 xcos2x soit sin⁡2x\sin^2 xsin2x.
   • Pour isoler sin⁡2x\sin^2 xsin2x, réarrangez la formule: sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 – \cos^2 xsin2x=1−cos2x
   • Pour isoler cos⁡2x\cos^2 xcos2x, réarrangez la formule: cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 – \sin^2 xcos2x=1−sin2x
3. Utiliser les Valeurs Connues: Si vous connaissez soit $\cos x$ soit $\sin x$, vous pouvez substituer cette valeur dans l’équation pour trouver l’autre.

   Par exemple, si on connaît $\cos x$:

   • Supposons que cos⁡x=32\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}cosx=23​​.
   • Remplacez $\cos x$ dans la formule: sin⁡2x=1−(32)2\sin^2 x = 1 – \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2sin2x=1−(23​​)2
   • Calculez sin⁡2x\sin^2 xsin2x: sin⁡2x=1−34=14\sin^2 x = 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}sin2x=1−43​=41​
   • Donc, sin⁡x=±12\sin x = \pm \frac{1}{2}sinx=±21​.
4. Considérer les Solutions Positives et Négatives: La valeur de $\sin x$ (ou $\cos x$) peut être positive ou négative, en fonction de l’angle $x$.

   Dans notre exemple:

   • $\sin x$ peut être 12\frac{1}{2}21​ ou −12-\frac{1}{2}−21​.
5. Vérification des Conditions: Pour certains contextes, vous devrez vérifier la plage de l’angle $x$ pour déterminer quelle solution (positive ou négative) est valide.
6. Exemple Complété:
   • Si on connaît cos⁡x=32\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}cosx=23​​ et que l’on veut trouver $\sin x$: cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1 (32)2+sin⁡2x=1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \sin^2 x = 1(23​​)2+sin2x=1 34+sin⁡2x=1\frac{3}{4} + \sin^2 x = 143​+sin2x=1 sin⁡2x=1−34=14\sin^2 x = 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}sin2x=1−43​=41​ sin⁡x=±12\sin x = \pm \frac{1}{2}sinx=±21​

En résumé, la formule cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1 vous permet de trouver la valeur du sinus ou du cosinus d’un angle si vous connaissez l’autre. En isolant le terme désiré et en remplaçant par la valeur connue, vous pouvez résoudre pour trouver les solutions possibles.

Comment utiliser cos2 sin2 1 sur excel

Pour utiliser la formule cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1cos2x+sin2x=1 sur Excel, suivez ces étapes :

Objectif

• Trouver $\sin x$ ou $\cos x$ en utilisant l’autre valeur connue.
• Calculer les valeurs de $\sin x$ et $\cos x$ pour différents angles.

Étape 1 : Préparer la Feuille de Calcul

1. Ouvrir Excel.
2. Configurer les colonnes :
   • Colonne A : Angle $x$ en degrés
   • Colonne B : $\cos x$
   • Colonne C : cos⁡2x\cos^2 xcos2x
   • Colonne D : sin⁡2x\sin^2 xsin2x
   • Colonne E : $\sin x$

Étape 2 : Entrer les Angles

1. Dans la colonne A, entrez les valeurs des angles en degrés (par exemple, de 0 à 360).

Étape 3 : Calculer $\cos x$

1. Dans la cellule B2, entrez la formule pour calculer le cosinus de l’angle en A2 :
   excel

   Copier le code

   =COS(RADIANS(A2))

2. Copiez cette formule pour les autres cellules de la colonne B.

Étape 4 : Calculer cos⁡2x\cos^2 xcos2x

1. Dans la cellule C2, entrez la formule pour calculer le carré du cosinus :
   excel

   Copier le code

   =B2^2

2. Copiez cette formule pour les autres cellules de la colonne C.

Étape 5 : Calculer sin⁡2x\sin^2 xsin2x

1. Dans la cellule D2, entrez la formule pour utiliser l’identité trigonométrique :
   excel

   Copier le code

   =1-C2

2. Copiez cette formule pour les autres cellules de la colonne D.

Étape 6 : Calculer $\sin x$

1. Dans la cellule E2, entrez la formule pour calculer le sinus :
   excel

   Copier le code

   =SQRT(D2)

2. Pour inclure à la fois les valeurs positives et négatives de $\sin x$, vous pouvez ajouter une colonne supplémentaire pour $-\sin x$ ou indiquer que le sinus peut être $\pm \text{valeur}$.

Étape 7 : Vérification

• Assurez-vous que pour chaque angle, la somme de cos⁡2x\cos^2 xcos2x et sin⁡2x\sin^2 xsin2x est égale à 1, ce qui peut être vérifié en ajoutant une colonne supplémentaire pour cos⁡2x+sin⁡2x\cos^2 x + \sin^2 xcos2x+sin2x.

Exemple de Tableau

Instructions Détailées

1. Colonne A : Entrez les valeurs de 0, 30, 45, 60, etc., en degrés.
2. Colonne B : Utilisez la formule =COS(RADIANS(A2)) et tirez vers le bas pour remplir.
3. Colonne C : Utilisez la formule =B2^2 et tirez vers le bas pour remplir.
4. Colonne D : Utilisez la formule =1-C2 et tirez vers le bas pour remplir.
5. Colonne E : Utilisez la formule =SQRT(D2) et tirez vers le bas pour remplir.